幸福の物理

みんなに物理と工作と幸福をお届けするのだァ~!

Twitterで見かけた積分を一般化してみた

問題の積分です

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オレたち花の白衣組!私服白衣同士で白熱白衣トークをした☆

私服白衣's 部室にて

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左がしたろう、右が藤田さんです。

私が着ている白衣は前回紹介した理研白衣です。
shitaro-happy-physics.hatenablog.jp

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【AdC2015】物理数学:特異点の使い道とフックスの定理

今日のお題

 以前、微分方程式特異点を分類しました。

 ところでなぜ、微分方程式級数展開で解くのに確定特異点を調べるのでしょうか。始めから級数微分方程式に代入してはいけないのでしょうか。

 結論から言うと、そもそも級数解が存在するかを保証するフックスの定理を使うためなのです。

フックス(Fuchs)の定理

 微分方程式のある点aが特異点でない(通常点と呼ぶ)、あるいは確定特異点であるならば、その点aの周りで展開した級数を少なくとも1つ解に持つ。

 予め展開したい点が最悪でも確定特異点であるかを調べれば、苦労して計算した級数解が本当に微分方程式の解であると言えるわけですね。

【AdC2015】物理数学:級数展開の一意性

今日のお題

 二階常微分方程式
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を解く方法の一つとして、級数解法(フロベニウスの解法)があります。

 この方法は、関数が級数展開によって記述できることを利用したものです。つまり、解が
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の形でかけると仮定し、微分方程式を満たすように係数を決定する方法です。

 この解法で個人的に気になっていたのが一意性です。一つの関数に対してその級数展開はいろいろありそうじゃないですか。今回示すのは、その心配は必要ないというものです。

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【AdC2015】物理数学:特異点の分類

今日のお題
 以前、ベッセル関数を扱った時に久しぶりに級数解法(フロベニウスの解法)を使いました。

 学部2年の時に、たくさんの二階常微分方程式に対して級数解法をするレポート課題を解きました。そのため、計算は体が覚えていました。しかし、用語までは覚えていませんでした。

 ここでは級数解法で登場する確定特異点の定義を再確認します。

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【AdC2015】物理数学:測地線方程式とクリストッフェル記号

はじめに

 この記事はシリーズ「リーマン多様体上のラプラシアンを求めよう」の一つです。ラプラシアンの導出も合わせてお楽しみください。

今日のお題

 今回、導出するのはこの2式です。
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 1つ目はクリストッフェル記号(Christoffel symbol)です。歪んだ空間のオツリを表すものです。

 2つ目は測地線方程式です。リーマン空間内に属する2点間の最短経路を表す曲線が従う方程式です。

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【AdC2015】物理数学:クリストッフェル記号の関係式

はじめに

 この記事はシリーズ「リーマン多様体上のラプラシアンを求めよう」の一つです。ラプラシアンの導出も合わせてお楽しみください。

 そもそもクリストッフェル記号ってなんだよ、という人はこちらの記事を参照してください。

今日のお題

 次の関係式を導出します。
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 ここで、gは計量テンソル\(g^{\mu \nu}\)の行列式を表します。

 導出には余因子の知識が必要になります。まさかここで余因子を使うことになるとは…。学部1年の頃の、線形代数学の講義を受講していた自分に伝えたいですね。

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