【AdC2015】物理数学：特異点の分類

今日のお題
　以前、ベッセル関数を扱った時に久しぶりに級数解法(フロベニウスの解法)を使いました。

　学部２年の時に、たくさんの二階常微分方程式に対して級数解法をするレポート課題を解きました。そのため、計算は体が覚えていました。しかし、用語までは覚えていませんでした。

　ここでは級数解法で登場する確定特異点の定義を再確認します。

【AdC2015】物理数学：測地線方程式とクリストッフェル記号

はじめに

　この記事はシリーズ「リーマン多様体上のラプラシアンを求めよう」の一つです。ラプラシアンの導出も合わせてお楽しみください。

今日のお題

　今回、導出するのはこの２式です。

　１つ目はクリストッフェル記号(Christoffel symbol)です。歪んだ空間のオツリを表すものです。

　２つ目は測地線方程式です。リーマン空間内に属する2点間の最短経路を表す曲線が従う方程式です。

【AdC2015】物理数学：クリストッフェル記号の関係式

はじめに

　この記事はシリーズ「リーマン多様体上のラプラシアンを求めよう」の一つです。ラプラシアンの導出も合わせてお楽しみください。

　そもそもクリストッフェル記号ってなんだよ、という人はこちらの記事を参照してください。

今日のお題

　次の関係式を導出します。

　ここで、gは計量テンソル\(g^{\mu \nu}\)の行列式を表します。

　導出には余因子の知識が必要になります。まさかここで余因子を使うことになるとは…。学部1年の頃の、線形代数学の講義を受講していた自分に伝えたいですね。

【AdC2015】物理数学：クリストッフェル記号の変換式

はじめに

　この記事はシリーズ「リーマン多様体上のラプラシアンを求めよう」の一つです。ラプラシアンの導出も合わせてお楽しみください。

　そもそもクリストッフェル記号ってなんだよ、という人はこちらの記事を参照してください。

今日のお題

　クリストッフェル記号の変換式

を導出します。この変換式は共変微分係数の導出に用いた重要な式でした。

※参考

他の計算にもしばしば用いられる式なので有用性は高いです。

【AdC2015】物理数学：反変ベクトルの共変微分

はじめに

　この記事はシリーズ「リーマン多様体上のラプラシアンを求めよう」の一つです。ラプラシアンの導出も合わせてお楽しみください。shitaro-happy-physics.hatenablog.jp

今日のお題

　歪んだ空間での微分、共変微分の式

を"導出"します*1。

　真っ直ぐな空間では平行移動は簡単です。ベクトルの各成分をそれぞれ同じ値に保ったまま移動すればいいのですから。一方、歪んだ空間では平行移動すると基底が変化してしまいます。この基底が変化することを成分の変化に押し付けたのが共変微分係数の式のクリストッフェル記号に表れているのです。

*1:共変微分係数の定義式なので、「導出」という言葉は不適切な気もする。

【AdC2015】物理数学：リーマン多様体上のラプラシアン

今日のお題

　今回から5日間は次の式の導出に関する話題を取り上げます。

　この式はリーマン多様体上のラプラシアン(Laplacian)、またはラプラス-ベルトラミ作用素(Laplace-Beltrami operator)と呼ばれています。

　この公式さえ知っていれば、例えば3次元極座標(球座標)のラプラシアンをその場で導出することができます。

【AdC2015】物理数学：ベッセル関数とFM音源

アドベントカレンダーとは以下略

　ロボット技術研究会でもアドベントカレンダーをやっています。そちらの方も合わせてご利用くださいませ。titech-ssr.blog.jp

今日のお題

　FM音源を数学的に解析します。具体的には、物理数学でよく出てくる特殊関数の一つ、(第一種)ベッセル関数を使って、最も単純な構成のアルゴリズムで生成された波形が倍音を持つことを示します。

【AdC2015】流体力学：連続の方程式

Advent Calendarというものを始めてみた。

　今日からクリスマスまでブログを更新し続ける、アドベントカレンダーというものがあると聞いて、早速はじめました。www.adventar.org

　実はロボット技術研究会でもアドベントカレンダーをやっています。というか誘われたのがきっかけで幸福の物理アドベントカレンダーを作りました。www.adventar.org

【レビュー】第89冊平成28年度版理科年表を購入しました！

平成27年度版から1年…

　早いもので、平成27年度版理科年表購入から1年が経ってしまいました…。そう、今年も理科年表レビューの季節がやって来たのです！shitaro-happy-physics.hatenablog.jp
shitaro-happy-physics.hatenablog.jp

ウワサの「理研白衣」を手に入れた！

これが「理研白衣」だ！