2015-12-05 【AdC2015】物理数学:クリストッフェル記号の変換式 Advent Calendar 2015 物理数学 はじめに この記事はシリーズ「リーマン多様体上のラプラシアンを求めよう」の一つです。ラプラシアンの導出も合わせてお楽しみください。 そもそもクリストッフェル記号ってなんだよ、という人はこちらの記事を参照してください。 今日のお題 クリストッフェル記号の変換式 を導出します。この変換式は共変微分係数の導出に用いた重要な式でした。※参考他の計算にもしばしば用いられる式なので有用性は高いです。 導出 新しい座標におけるChristoffel記号 を古い座標で表すことで、求める式が得られます。右辺のカッコ内にある、古い座標における計量テンソルの座標微分に着目します。 計量テンソルの変換式 の両辺を新しい座標で微分します。 同様にして これらにより、新しい座標におけるChristoffel記号の右辺カッコ内部の項が揃いました。右辺カッコ部分の通りに計算すると ここで、両辺に計量テンソル(2次反変テンソル)の変換式 をかけると つまり が得られます。 特に、二階微分を左辺にすると、目的の式 が得られます。