Legendre多項式の絶対値が1以下であることの証明

なんだこの不等式・・・

ことの発端

　物理数学のレポート問題を解いている最中の出来事(2週間くらい前？)。
私のある友人が「この不等式が成り立ちゃいいのにどう示せばいいのかわかんねぇ。」と私や他の物理学科の友人たちと頭を抱えていた問題がありました。それは「Legendre多項式の引数が $\cos \theta$ のとき、そのLegendre多項式の絶対値は1以下である。すなわち、不等式

$\begin{equation*}|P_{n}(\cos \theta)| \leq 1 \ (n = 0,1,2,\ldots)\end{equation*}$

が成り立つことを示せ。」という問題です。

なぜか証明がない

　グラフを描けばどう見ても成り立っているので、一般にこの不等式は成り立っていると思うのですがいくらこの不等式を本やネットで調べても出てこない。あったとしても結果だけで証明が書かれていないという有り様。絶対に需要あると思うんだけどなぁ。やがてもどかしさから怒りに変わり、果ては「ないなら自分でつくってしまえ」という工作の精神(？)でこの問題に再度挑戦しました。そして今日、遂にその証明できた(？)のでここに掲載します。もし、証明に不備があれば指摘して頂けると大変幸福です。

不等式 $|P_{n}(\cos \theta)| \leq 1 \ (n = 0, 1, 2, \ldots)$ の証明

方針

Legendre多項式の母関数を $\cos \theta$ で表した式

$\begin{equation*}P_{n}(\cos \theta)= \displaystyle \sum_{k=0}^{\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor}\frac{2(2k-1)!!(2n-2k-1)!!}{(2k)!!(2k-2n)!!}\cos (n-2k)\theta+ A_{n} \ (n = 0,1,2, \ldots) \end{equation*}$

ただし $A_n$ は次のように定義する：

$\begin{equation*}A_{n} \equiv \begin{cases} 0 & (\textrm{for}\ n\ \textrm{is odd}) \\ \left(\frac{(n-1)!!}{n!!}\right)^2 & (\textrm{for}\ n\ \textrm{is even}) \end{cases} \end{equation*}$

これと、等式

$\begin{equation*} P_{n} (1) = 1 \ (n=0,1,2,\ldots) \end{equation*}$

を三角不等式と合わせて用いて示します。

証明

　~~非常に長くなったのでpdfでまとめました。以下に証明のリンクを張っておきます。~~
~~https://www.dropbox.com/s/27vuk6l0heqofi5/Legendre.pdf~~

└(՞ةڼ◔)」＜Are you happy?

2015年10月22日木曜日更新

とある読者からの指摘によりリンク切れが起きていることが発覚しました。
指摘していただきありがとうございます！とても助かります。

当該のpdfファイルをpngに変換し、以下に掲載します。

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