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【AdC2015】物理数学:特異点の使い道とフックスの定理

今日のお題

 以前、微分方程式特異点を分類しました。

 ところでなぜ、微分方程式級数展開で解くのに確定特異点を調べるのでしょうか。始めから級数微分方程式に代入してはいけないのでしょうか。

 結論から言うと、そもそも級数解が存在するかを保証するフックスの定理を使うためなのです。

フックス(Fuchs)の定理

 微分方程式のある点aが特異点でない(通常点と呼ぶ)、あるいは確定特異点であるならば、その点aの周りで展開した級数を少なくとも1つ解に持つ。

 予め展開したい点が最悪でも確定特異点であるかを調べれば、苦労して計算した級数解が本当に微分方程式の解であると言えるわけですね。