これってホントに同じH？

だってほら、物理学科暇だから・・・。

　実生活が暇すぎて実験レポートと演習課題レポートしかやることが無いくらい暇だったために、かなり放置してしまった・・・。今日つぶやくのは質問、というか疑問です。

どうしてこれが等価なの？

　これは統計力学でボースアインシュタイン凝縮について学んでいた時に思った疑問です。同種多粒子系のHamiltonianを考えます。

所謂普通の演算子と波動関数を用いた書き方←まあ分かる。

　Hamiltonianは
\begin{eqnarray}
\hat{H}
=
\sum_{j=1}^{N}
\frac{\hat{\boldsymbol{p}}_{j}^2}{2m}
+
\sum_{ i < j }
U(|\boldsymbol{r}_{i}-\boldsymbol{r}_{j}|)
\end{eqnarray}
で与えられて、その固有関数はSchrödinger方程式
\begin{eqnarray}
\hat{H}
\Phi_{\nu}
(\xi_{1} , \xi_{2} , \ldots , \xi_{N})
=
E_{\nu}
\Phi_{\nu}
(\xi_{1} , \xi_{2} , \ldots , \xi_{N})
\end{eqnarray}
と置換演算子の固有値問題
\begin{equation}
\hat{P}
\Phi_{\nu}
(\xi_{1} , \xi_{2} , \ldots , \xi_{N})
=
\lambda^{P}
\Phi_{\nu}
(\xi_{1} , \xi_{2} , \ldots , \xi_{N})
\end{equation}
を満たします。ただし、 \(\xi\)は位置座標とスピン状態の4つの状態を表す変数です。
ちなみに、固有関数\(\{\Phi_{\nu}\}_{\nu}\)の完全規格直交性は
\begin{eqnarray}
\int \cdots \int
\mathrm{d}\xi_{1} \cdots \mathrm{d}\xi_{N}
\Phi_{\nu'}^{*}
(\xi_{1} , \xi_{2} , \ldots , \xi_{N})
\Phi_{\nu}
(\xi_{1} , \xi_{2} , \ldots , \xi_{N})
=
\delta_{\nu' \nu}
\end{eqnarray}
\begin{align}
&\sum_{\nu}
\Phi_{\nu}
(\xi_{1} , \xi_{2} , \ldots , \xi_{N})
\Phi_{\nu'}^{*}
(\xi_{1} , \xi_{2} , \ldots , \xi_{N})
\\
=&
\frac{1}{N!}
\sum_{\hat{P}}
\lambda^{P}
\prod_{j=1}^{N}
\delta(\xi'_{j} , \xi_{p_{j}})
\end{align}
で表される。

第二量子化による書き方←？？？

　Hamiltonianは
\begin{eqnarray}
\hat{H}
=
\int
\mathrm{d}\xi_{1}
\hat{\psi}^{\dagger}(\xi_{1})
\frac{\hat{\boldsymbol{p}_{1}^{2}}}{2m}
\hat{\psi}(\xi_{1})
+
\frac{1}{2}
\int \mathrm{d} \xi_{1}
\int \mathrm{d} \xi_{2}
\hat{\psi}^{\dagger}(\xi_{1}) \hat{\psi}^{\dagger}(\xi_{2})
U(|\boldsymbol{r}_{1} - \boldsymbol{r}_{2}|)
\hat{\psi}(\xi_{2}) \hat{\psi}(\xi_{1})
\end{eqnarray}
で与えられる(？)。ただし、場の演算子\(\hat{\psi}, \hat{\psi}^{\dagger}\)は交換関係
\begin{eqnarray}
[\hat{\psi}(\xi), \hat{\psi}^{\dagger}(\xi')]_{\lambda}
=
\hat{\psi}(\xi) \hat{\psi}^{\dagger}(\xi')
- \lambda
\hat{\psi}^{\dagger}(\xi') \hat{\psi}(\xi)
=
\delta (\xi, \xi')
\ ,
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
[\hat{\psi}(\xi), \hat{\psi}(\xi')]_{\lambda}
=
[\hat{\psi}^{\dagger}(\xi), \hat{\psi}^{\dagger}(\xi')]_{\lambda}
=
0
\end{eqnarray}
を満たします。また、Schrödinger方程式は
\begin{eqnarray}
\hat{H} |\Phi_{\nu}\rangle
=
E_{\nu} |\Phi_{\nu}\rangle
\end{eqnarray}
ちなみに、固有ケット\(|\Phi_{\nu}\rangle\)の完全規格直交性は
\begin{eqnarray}
\langle \Phi_{\nu'} | \Phi_{\nu} \rangle
=
\delta_{\nu' \nu}
\ ,\
\sum{\nu}
|\Phi_{\nu}\rangle
\langle \Phi_{\nu}|
=
1
\end{eqnarray}
で表される。

一つの粒子のHamiltonianしか考えてないように見えるが・・・？

　前者のHamiltonianと後者のHamiltonianは等価だという。なんでも
\begin{align}
\int \cdots \int \mathrm{d}\xi_{1} \cdots \mathrm{d}\xi_{N}
&\Phi_{\nu'}^{*}
(\xi_{1} , \xi_{2} , \ldots , \xi_{N})
\sum_{j=1}^{N}
\frac{\hat{\boldsymbol{p}}_{j}^2}{2m}
\Phi_{\nu}
(\xi_{1} , \xi_{2} , \ldots , \xi_{N})
\\
=&
\int \mathrm{d}\xi_{1}
\langle \Phi_{\nu'} |
\hat{\psi}^{\dagger}(\xi_{1})
\frac{\hat{\boldsymbol{p}_{1}^{2}}}{2m}
\hat{\psi}(\xi_{1})
| \Phi_{\nu} \rangle
\ ,
\end{align}
\begin{align}
\int \cdots \int \mathrm{d}\xi_{1} \cdots \mathrm{d}\xi_{N}
&\Phi_{\nu'}^{*}
(\xi_{1} , \xi_{2} , \ldots , \xi_{N})
\sum_{ i < j }
U(|\boldsymbol{r}_{i}-\boldsymbol{r}_{j}|)
\Phi_{\nu}
(\xi_{1} , \xi_{2} , \ldots , \xi_{N})
\\
=&
\frac{1}{2}
\int \mathrm{d}\xi_{1}
\int \mathrm{d}\xi_{2}
\langle \Phi_{\nu'} |
\hat{\psi}^{\dagger}(\xi_{1}) \hat{\psi}^{\dagger}(\xi_{2})
U(|\boldsymbol{r}_{1} - \boldsymbol{r}_{2}|)
\hat{\psi}(\xi_{2}) \hat{\psi}(\xi_{1})
| \Phi_{\nu} \rangle
\end{align}
という関係式を使えば等価であることが言えるそうな。

・・・う～ん、どう式変形すればいいのだろう。神様、ヒントをください＞＜

└(՞ةڼ◔)」＜困ったなァ～？