えっ！？ロボット技術研究会では一般相対性理論も学べるだって！？

憧れの部長からチラシをもらった！！

部室にいったら憧れの部長からロボット技術研究会のチラシをもらいました。幸福だァ～！

ロボット技術のための一般相対性理論のためのRiemann幾何学

　ロボットをつくるためには自然科学の知識が必要です。特に光速に近い速度で運動するロボット、惑星レベルの質量を持つロボットを作成するためには相対性理論が必要となります。
　また、最近物理学科や化学科の一部の学生たちの間で相対性理論を学ぶことが流行っています。この波に乗り遅れてはいけませんね！
　そこで、ここでは相対論で出てくる数式の一つ、一般的な混合テンソルの共変微分係数を考えてみます。

定義

　一般の混合テンソル\( T_{\lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_b}^{\kappa_1 \kappa_2 \cdots \kappa_a} \) の共変微分係数は次のように定義されます：
\begin{align}
\nabla_{\mu}
T_{\lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_b}^{\kappa_1 \kappa_2 \cdots \kappa_a}
=
\frac{\partial T_{\lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_b}^{\kappa_1 \kappa_2
\cdots \kappa_a}}{\partial x^{\mu} } +
\sum_{i=1}^{a}
\Gamma_{\mu \alpha}^{\kappa_i}
T_{\lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_b}^{\kappa_1 \kappa_2 \cdots \kappa_a : \alpha_i}
-
\sum_{j=1}^{b}
\Gamma_{\mu \lambda_j}^{\alpha}
T_{\lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_b : \beta_j}^{\kappa_1 \kappa_2 \cdots \kappa_a}
\ .
\end{align}
ただし、\( \kappa_1 \kappa_2 \cdots \kappa_a : \alpha_i \)などは\(i\)番目の添字\(\kappa_i\)を\( \alpha\)に置換するという意味です。例えば\( T_{\lambda_1 \lambda_2}^{\kappa_1 \kappa_2 : \alpha_1}\)は\(T_{\lambda_1 \lambda_2}^{\alpha \kappa_2}\)を表しています。

どうやって出てきたの？

　共変微分係数は次のような計算を行うことで出現します：

• 座標変換\( x^{\kappa'}=x^{\kappa'}(x^1,x^2,\cdots,x^n) \)に対する\( T_{\lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_b}^{\kappa_1 \kappa_2 \cdots \kappa_a} \)の変換式を書き下す。
• \( T_{\lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_b}^{\kappa_1 \kappa_2 \cdots \kappa_a} \)の変換式を\( x^{\mu'}\)で偏微分する。
• Christoffel記号の関係式

\begin{align}
\frac{\partial^2 x^{\kappa_{i}}}{\partial x^{\mu'} \partial x^{\alpha}}
&=
\frac{\partial x^{\kappa_{i}}}{\partial x^{\kappa'_{i}}}
\Gamma_{\mu' \alpha'}^{\kappa'_{i}}
-
\frac{\partial x^{\mu}}{\partial x^{\mu'}}
\frac{\partial x^{\alpha}}{\partial x^{\alpha'}}
\Gamma_{\mu \alpha}^{\kappa_{i}}
\ \
(i=1,2,\ldots,a)
\\
\frac{\partial^2 x^{\alpha}}{\partial x^{\mu'} \partial x^{\lambda'_{j}}}
&=
\frac{\partial x^{\alpha}}{\partial x^{\alpha'}}
\Gamma_{\mu' \lambda_{j}'}^{\alpha}
-
\frac{\partial x^{\mu}}{\partial x^{\mu'}}
\frac{\partial x^{\lambda_{j}}}{\partial x^{\lambda'_{j}}}
\Gamma_{\mu \lambda_{j}}^{\alpha}
\ \
(j=1,2,\ldots,b)
\end{align}
を代入して整理する。

• どうやら

\begin{align}
\frac{\partial T_{\lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_b}^{\kappa_1 \kappa_2
\cdots \kappa_a}}{\partial x^{\mu} } +
\sum_{i=1}^{a}
\Gamma_{\mu \alpha}^{\kappa_i}
T_{\lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_b}^{\kappa_1 \kappa_2 \cdots \kappa_a : \alpha_i}
-
\sum_{j=1}^{b}
\Gamma_{\mu \lambda_j}^{\alpha}
T_{\lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_b : \beta_j}^{\kappa_1 \kappa_2 \cdots \kappa_a}
\end{align}
は混合テンソルと同じ変換をするぞ！？

詳しい計算

　自分へのメモも兼ねて少し詳しく式変形を追っていきます。
　
座標変換\( x^{\kappa'}=x^{\kappa'}(x^1,x^2,\cdots,x^n) \)に対する混合テンソル\( T_{\lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_b}^{\kappa_1 \kappa_2 \cdots \kappa_a} \)の変換式は、定義より次のように与えられます：
\begin{eqnarray}
T_{\lambda'_{1}\lambda'_{2}\cdots\lambda'_{b}}^{\kappa'_{1}\kappa'_{2}\cdots\kappa'_{a}}
=
\prod_{m=1}^{a}\frac{\partial x^{\kappa'_{m}}}{\partial \kappa_{m}}
\prod_{n=1}^{b}\frac{\partial x^{\lambda_{n}}}{\partial \lambda'_{m}}
T_{\lambda_{1}\lambda_{2}\cdots\lambda_{b}}^{\kappa_{1}\kappa_{2}\cdots\kappa_{a}}
\ .
\end{eqnarray}
ここで、テンソルにかかる係数の分子の添字がプライム無しのものになるように式変形します。
\begin{eqnarray}
\prod_{m=1}^{a}\frac{\partial x^{\kappa_{m}}}{\partial \kappa'_{m}}
T_{\lambda'_{1}\lambda'_{2}\cdots\lambda'_{b}}^{\kappa'_{1}\kappa'_{2}\cdots\kappa'_{a}}
=
\prod_{n=1}^{b}\frac{\partial x^{\lambda_{n}}}{\partial \lambda'_{m}}
T_{\lambda_{1}\lambda_{2}\cdots\lambda_{b}}^{\kappa_{1}\kappa_{2}\cdots\kappa_{a}}
\ .
\end{eqnarray}

さあ、両辺を\( x^{\mu'}\)で偏微分しましょう。連鎖式により次のように書けます：
\begin{align}
&\prod_{m=1}^{a}
\frac{\partial x^{\kappa_{m}}}{\partial x^{\kappa'_{m}}}
\frac{\partial
T_{\lambda'_{1}\lambda'_{2}\cdots\lambda'_{b}}^{\kappa'_{1}\kappa'_{2}\cdots\kappa'_{a}}}{\partial x^{\mu'}}
+
\sum_{i=1}^{a}
\frac{\partial^2 x^{\kappa_{i}}}{\partial x^{\mu'} \partial x^{\alpha'}}
\prod_{m\neq i}^{a}
\frac{\partial x^{\kappa_{m}}}{\partial x^{\kappa'_{m}}}
T_{\lambda'_{1}\lambda'_{2}\cdots\lambda'_{b}}^{\kappa'_{1}\kappa'_{2}\cdots\kappa'_{a}:\alpha'_{i}}
\\
&=
\frac{\partial x^{\mu}}{\partial x^{\mu'}}
\prod_{n=1}^{b}
\frac{\partial x^{\lambda_{n}}}{\partial x^{\lambda'_{n}}}
\frac{\partial
T_{\lambda_{1}\lambda_{2}\cdots\lambda_{b}}^{\kappa_{1}\kappa_{2}\cdots\kappa_{a}}}{\partial x^{\mu}}
+
\sum_{j=1}^{b}
\frac{\partial^2 x^{\alpha}}{\partial x^{\mu'} \partial x^{\lambda'_{j}}}
\prod_{n\neq j}^{b}
\frac{\partial x^{\lambda_{j}}}{\partial x^{\lambda'_{j}}}
T_{\lambda_{1}\lambda_{2}\cdots\lambda_{b}:\alpha_{j}}^{\kappa_{1}\kappa_{2}\cdots\kappa_{a}}
\ .
\end{align}

　ここで、やや複雑な二階偏微分が現れました。これにChristoffel記号の関係式
\begin{align}
\frac{\partial^2 x^{\kappa_{i}}}{\partial x^{\mu'} \partial x^{\alpha}}
&=
\frac{\partial x^{\kappa_{i}}}{\partial x^{\kappa'_{i}}}
\Gamma_{\mu' \alpha'}^{\kappa'_{i}}
-
\frac{\partial x^{\mu}}{\partial x^{\mu'}}
\frac{\partial x^{\alpha}}{\partial x^{\alpha'}}
\Gamma_{\mu \alpha}^{\kappa_{i}}
\ \
(i=1,2,\ldots,a)
\\
\frac{\partial^2 x^{\alpha}}{\partial x^{\mu'} \partial x^{\lambda'_{j}}}
&=
\frac{\partial x^{\alpha}}{\partial x^{\alpha'}}
\Gamma_{\mu' \lambda_{j}'}^{\alpha}
-
\frac{\partial x^{\mu}}{\partial x^{\mu'}}
\frac{\partial x^{\lambda_{j}}}{\partial x^{\lambda'_{j}}}
\Gamma_{\mu \lambda_{j}}^{\alpha}
\ \
(j=1,2,\ldots,b)
\end{align}
を代入することで一階偏微分に直すことができます：
\begin{align}
&\prod_{m=1}^{a}
\frac{\partial x^{\kappa_{m}}}{\partial x^{\kappa'_{m}}}
\frac{\partial
T_{\lambda'_{1}\lambda'_{2}\cdots\lambda'_{b}}^{\kappa'_{1}\kappa'_{2}\cdots\kappa'_{a}}}{\partial
x^{\mu'}}
\\
+&
\prod_{m=1}^{a}
\frac{\partial x^{\kappa_{m}}}{\partial x^{\kappa'_{m}}}
\sum_{i=1}^{a}
\Gamma_{\mu' \alpha'}^{\kappa'_{i}}
T_{\lambda'_{1}\lambda'_{2}\cdots\lambda'_{b}}^{\kappa'_{1}\kappa'_{2}\cdots\kappa'_{a}:\alpha'_{i}}
-
\frac{\partial x^{\mu}}{\partial x^{\mu'}}
\sum_{i=1}^{a}
\Gamma_{\mu \alpha}^{\kappa_{i}}
\left(
\frac{\partial x^{\alpha}}{\partial x^{\alpha'}}
\prod_{m\neq i}^{a}
\frac{\partial x^{\kappa_{m}}}{\partial x^{\kappa'_{m}}}
T_{\lambda'_{1}\lambda'_{2}\cdots\lambda'_{b}}^{\kappa'_{1}\kappa'_{2}\cdots\kappa'_{a}:\alpha'_{i}}
\right)
\\
=&
\frac{\partial x^{\mu}}{\partial x^{\mu'}}
\prod_{n=1}^{b}
\frac{\partial x^{\lambda_{n}}}{\partial x^{\lambda'_{n}}}
\frac{\partial
T_{\lambda_{1}\lambda_{2}\cdots\lambda_{b}}^{\kappa_{1}\kappa_{2}\cdots\kappa_{a}}}{\partial x^{\mu}}
\\
+&
\sum_{j=1}^{b}
\Gamma_{\mu' \lambda'_{j}}^{\alpha'}
\left(
\frac{\partial x^{\alpha}}{\partial x^{\alpha'}}
\prod_{n\neq j}^{b}
\frac{\partial x^{\lambda_{n}}}{\partial x^{\lambda'_{n}}}
T_{\lambda_{1}\lambda_{2}\cdots\lambda_{b}:\alpha_{j}}^{\kappa_{1}\kappa_{2}\cdots\kappa_{a}}
\right)
-
\frac{\partial x^{\mu}}{\partial x^{\mu'}}
\prod_{n=1}^{b}
\frac{\partial x^{\lambda_{n}}}{\partial x^{\lambda'_{n}}}
\sum_{j=1}^{b}
\Gamma_{\mu \lambda_{j}}^{\alpha}
T_{\lambda_{1}\lambda_{2}\cdots\lambda_{b}:\alpha_{j}}^{\kappa_{1}\kappa_{2}\cdots\kappa_{a}}
\ .
\end{align}

　さあ、括弧でくくった部分に注目してください。これは座標変換\( x^{\kappa'}=x^{\kappa'}(x^1,x^2,\cdots,x^n) \)に対する\( T_{\lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_b}^{\kappa_1 \kappa_2 \cdots \kappa_a} \)の変換式そのものです。したがって、
\begin{align}
\frac{\partial x^{\alpha}}{\partial x^{\alpha'}}
\prod_{m\neq i}^{a}
\frac{\partial x^{\kappa_{m}}}{\partial x^{\kappa'_{m}}}
T_{\lambda'_{1}\lambda'_{2}\cdots\lambda'_{b}}^{\kappa'_{1}\kappa'_{2}\cdots\kappa'_{a}:\alpha'_{i}}
=&
\prod_{n=1}^{b}
\frac{\partial x^{\lambda_{n}}}{\partial x^{\lambda'_{n}}}
T_{\lambda_{1}\lambda_{2}\cdots\lambda_{b}}^{\kappa_{1}\kappa_{2}\cdots\kappa_{a}:\alpha_{i}}
\\
\frac{\partial x^{\alpha}}{\partial x^{\alpha'}}
\prod_{n\neq j}^{b}
\frac{\partial x^{\lambda_{n}}}{\partial x^{\lambda'_{n}}}
T_{\lambda_{1}\lambda_{2}\cdots\lambda_{b}:\alpha_{j}}^{\kappa_{1}\kappa_{2}\cdots\kappa_{a}}
=&
\prod_{m=1}^{a}
\frac{\partial x^{\kappa_{m}}}{\partial x^{\kappa'_{m}}}
T_{\lambda'_{1}\lambda'_{2}\cdots\lambda'_{b}:\alpha'_{j}}^{\kappa'_{1}\kappa'_{2}\cdots\kappa'_{a}}
\end{align}
を代入することで次のような式が得られます：
\begin{align}
&\frac{\partial
T_{\lambda'_{1}\lambda'_{2}\cdots\lambda'_{b}}^{\kappa'_{1}\kappa'_{2}\cdots\kappa'_{a}}}{\partial
x^{\mu'}}
+
\sum_{i=1}^{a}
\Gamma_{\mu' \alpha'}^{\kappa'_{i}}
T_{\lambda'_{1}\lambda'_{2}\cdots\lambda'_{b}}^{\kappa'_{1}\kappa'_{2}\cdots\kappa'_{a}:\alpha'_{i}}
-
\sum_{j=1}^{b}
\Gamma_{\mu' \lambda_{j}}^{\alpha'}
T_{\lambda'_{1}\lambda'_{2}\cdots\lambda'_{b}:\alpha'_{j}}^{\kappa'_{1}\kappa'_{2}\cdots\kappa'_{a}}
\\
=&
\prod_{m=1}^{a}
\prod_{n=1}^{b}
\frac{\partial x^{\mu}}{\partial x^{\mu'}}
\frac{\partial x^{\kappa}}{\partial x^{\kappa'}}
\frac{\partial x^{\lambda}}{\partial x^{\lambda'}}
\left(
\frac{\partial
T_{\lambda_{1}\lambda_{2}\cdots\lambda_{b}}^{\kappa_{1}\kappa_{2}\cdots\kappa_{a}}}{\partial
x^{\mu}}
+
\sum_{i=1}^{a}
\Gamma_{\mu \alpha}^{\kappa_{i}}
T_{\lambda_{1}\lambda_{2}\cdots\lambda_{b}}^{\kappa_{1}\kappa_{2}\cdots\kappa_{a}:\alpha_{i}}
-
\sum_{j=1}^{b}
\Gamma_{\mu \lambda_{j}}^{\alpha}
T_{\lambda_{1}\lambda_{2}\cdots\lambda_{b}:\alpha_{j}}^{\kappa_{1}\kappa_{2}\cdots\kappa_{a}}
\right)
\end{align}

　これは
\begin{align}
\frac{\partial T_{\lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_b}^{\kappa_1 \kappa_2
\cdots \kappa_a}}{\partial x^{\mu} } +
\sum_{i=1}^{a}
\Gamma_{\mu \alpha}^{\kappa_i}
T_{\lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_b}^{\kappa_1 \kappa_2 \cdots \kappa_a : \alpha_i}
-
\sum_{j=1}^{b}
\Gamma_{\mu \lambda_j}^{\alpha}
T_{\lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_b : \beta_j}^{\kappa_1 \kappa_2 \cdots \kappa_a}
\end{align}
が混合テンソルの1成分であることを表しています！よって、この新たなテンソルを
\begin{align}
\nabla_{\mu}
T_{\lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_b}^{\kappa_1 \kappa_2 \cdots \kappa_a}
=
\frac{\partial T_{\lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_b}^{\kappa_1 \kappa_2
\cdots \kappa_a}}{\partial x^{\mu} } +
\sum_{i=1}^{a}
\Gamma_{\mu \alpha}^{\kappa_i}
T_{\lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_b}^{\kappa_1 \kappa_2 \cdots \kappa_a : \alpha_i}
-
\sum_{j=1}^{b}
\Gamma_{\mu \lambda_j}^{\alpha}
T_{\lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_b : \beta_j}^{\kappa_1 \kappa_2 \cdots \kappa_a}
\end{align}
と表し、これを共変微分係数と呼ぶことにするのです。

　お疲れ様でした。計算自体は偏微分だけなので単純ですが少々混み合っていて煩雑です。計算ミスに気をつけてください*1。

参考文献

時空と重力 (物理学の廻廊)

なんの役に立つの？

　一般相対性理論のためのRiemann幾何学を学習する上で遭遇するいくつかのテンソル計算で用います。例えばRiemann曲率テンソルやRicciテンソル、またそれらを用いて導かれるBianchiの恒等式の計算に用います。
　私もまだ学習したばかりなのでわからないことだらけです。周りの"相対論ウェーブ"という波に乗り遅れないよう頑張りたいと思います。

└(՞ةڼ◔)」＜テルソン・・・？

*1:私も何度か計算ミスをしてやっとこの式にたどり着きました。エラーがあったら報告して頂けるとありがたいです。