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幸福の物理

みんなに物理と工作と幸福をお届けするのだァ~!

したろうメモ:テンソル代数(2)

したろうメモ テンソル代数学

線形変換に対する・・・

スカラーの定義

\(n\)個の変数\(x^{\kappa}\)を引数に持つ関数\(f(x^{\kappa})\)があります。
もし変数の線形変換\(x^{\kappa'} = A_{\kappa}^{\kappa'} x^{\kappa}\)をしても、関数\(f(x^{\kappa})\)の値は変わらないとします。これを線形変換に対するスカラーと定義します。つまり・・・

(線形変換に対して)関数\(f(x^{\kappa})\)はスカラーであるとは・・・
変数の線形変換\(x^{\kappa'} = A_{\kappa}^{\kappa'} x^{\kappa}\)に対して、関数\(f(x^{\kappa})\)は\(f'(x^{\kappa'})\)に移るが、その値は変わらない。すなわち、
\begin{eqnarray}
f'(x^{\kappa'}) = f(x^{\kappa})
\end{eqnarray}
である。

ベクトルの定義

\(n\)個の変数\(x^{\kappa}\)を引数に持つ\(n\)個の関数\(v^{\kappa}(x^{\kappa})\)があります。
もし変数の線形変換\(x^{\kappa'} = A_{\kappa}^{\kappa'} x^{\kappa}\)をしたら、関数\(v^{\kappa}(x^{\kappa})\)は
\begin{eqnarray}
v^{\kappa'} = A_{\kappa}^{\kappa'} v^{\kappa}
\end{eqnarray}
に変換されるとします。この\(v^{\kappa}\)を線形変換に対する反変ベクトルと定義します。つまり・・・

(線形変換に対して)関数\(v^{\kappa}\)はベクトルであるとは・・・
変数の線形変換\(x^{\kappa'} = A_{\kappa}^{\kappa'} x^{\kappa}\)に対して、関数\(v^{\kappa}(x^{\kappa})\)は次のように変換される:
\begin{eqnarray}
v^{\kappa'} = A_{\kappa}^{\kappa'} v^{\kappa} \ .
\end{eqnarray}

\(n\)個の変数\(x^{\kappa}\)を引数に持つ\(n\)個の関数\(v_{\kappa}(x^{\kappa})\)があります。
もし変数の線形変換\(x^{\kappa'} = A_{\kappa}^{\kappa'} x^{\kappa}\)をしたら、関数\(v_{\kappa}(x^{\kappa})\)は
\begin{eqnarray}
v_{\kappa'} = A_{\kappa'}^{\kappa} v_{\kappa}
\end{eqnarray}
に変換されるとします。この\(v_{\kappa}\)を線形変換に対する共変ベクトルと定義します。つまり・・・

(線形変換に対して)関数\(v_{\kappa}\)は共変ベクトルであるとは・・・
変数の線形変換\(x^{\kappa'} = A_{\kappa}^{\kappa'} x^{\kappa}\)に対して、関数\(v_{\kappa}(x^{\kappa})\)は次のように変換される:
\begin{eqnarray}
v_{\kappa'} = A_{\kappa'}^{\kappa} v_{\kappa} \ .
\end{eqnarray}

テンソルの定義

以上の定義、なんだか同じような文章の繰り返しに感じます。この感じを頼りに拡張します。

\(u^{\alpha}, v_{\beta}\)をそれぞれ反変ベクトル、共変ベクトルの成分とします。このとき、これらの関数は変数の線形変換\(x^{\kappa'} = A_{\kappa}^{\kappa'} x^{\kappa}\)に対して
\begin{eqnarray}
u^{\alpha'} = A_{\alpha}^{\alpha'} u^{\alpha}
\ ,&\
u_{\beta'} = A_{\beta'}^{\beta} u_{\beta}
\end{eqnarray}
と変換されます。
 ここで、\(u^{\alpha}, v_{\beta}\)をかけあわせた\(n^2\)個の関数\(T_{\beta}^{\alpha} := u^{\alpha}v_{\beta}\)について考えます。この関数は変数の線形変換\(x^{\kappa'} = A_{\kappa}^{\kappa'} x^{\kappa}\)に対して
\begin{align}
u^{\alpha'}v_{\beta'}
&=
T_{\beta'}^{\alpha'}
\\
&=
(A_{\alpha}^{\alpha'} u^{\alpha})
(A_{\beta'}^{\beta} v_{\beta})
\\
&=
A_{\alpha}^{\alpha'}
A_{\beta'}^{\beta}
u^{\alpha}v_{\beta}
\\
&=
A_{\alpha}^{\alpha'}
A_{\beta'}^{\beta}
T_{\beta}^{\alpha}
\end{align}
すなわち
\begin{eqnarray}
T_{\beta'}^{\alpha'}
=
A_{\alpha}^{\alpha'}
A_{\beta'}^{\beta}
T_{\beta}^{\alpha}
\end{eqnarray}
と変換されます。これを線形変換に対する(2次の混合)テンソルと呼びます。つまり・・・

(線形変換に対して)\(T_{\alpha \beta \cdots}^{\mu \nu \cdots}\)は(任意の次数の)テンソルであるとは・・・
変数の線形変換\(x^{\kappa'} = A_{\kappa}^{\kappa'} x^{\kappa}\)に対して、\(T_{\alpha \beta \cdots}^{\mu \nu \cdots}\)は次のように変換される:
\begin{eqnarray}
T_{\alpha' \beta' \cdots}^{\mu' \nu' \cdots}
=
A_{\alpha'}^{\alpha}
A_{\beta'}^{\beta}
\cdots
A_{\mu}^{\mu'}
A_{\nu}^{\nu'}
\cdots
T_{\alpha \beta \cdots}^{\mu \nu \cdots} \ .
\end{eqnarray}

変数の線形変換\(x^{\kappa'} = A_{\kappa}^{\kappa'} x^{\kappa}\)に対して・・・

\begin{eqnarray}
T^{\alpha' \beta'}
=
A_{\alpha}^{\alpha'}
A_{\beta}^{\beta'}
T^{\alpha \beta}
\end{eqnarray}
と変換されるとき、\(T^{\alpha \beta}\)を2次の反変テンソルと呼ぶ。

\begin{eqnarray}
T_{\alpha' \beta' \gamma'}
=
A_{\alpha'}^{\alpha}
A_{\beta'}^{\beta}
A_{\gamma'}^{\gamma'}
T_{\alpha \beta \gamma}
\end{eqnarray}
と変換されるとき、\(T_{\alpha \beta \gamma}\)を3次の共変テンソルと呼ぶ。